Čo sa skrýva v rámci dlhej divízie?

Čo sa skrýva v rámci dlhej divízie?

Vyzeráš dobre? Pre väčšinu ľudí, ak sa niekedy naučili robiť dlhé rozdelenie správne, museli „ovládať“ niečo podobné vyššie uvedenému postupu / algoritmu. Nevyžadovalo sa to, aby ste vedeli, ako to robiť, alebo prečo, ak by ste mali nejakú predstavu o tom, čo má mať odpoveď na túto odpoveď, táto mumbo-jumbo vás prinútila, že odpoveď správne. Ďalším spôsobom, ako opísať situáciu, je „čierna skrinka“. Vezmete dve čísla, hodíte ich do „dlhej divíznej skrinky“, otočte kľučkou toľkokrát, koľko je potrebné, a – voila! – sa objaví kúzelný kvocient so zvyškom, ak nejakým je, v nejakej podobe alebo iným. Fabulous! Kto potrebuje koncepčné porozumenie, ak si môžete zapamätať postup a vykonať ho správne? A rýchlo: nezabudnite, že „matematika“ (no, školská matematika) je závod! „Dobrí“ študenti sú ako stroje! Pomalá, náchylná na chyby, zmätená, zostane na vedľajšej koľaji.

No, to už pre mňa nefunguje s matematikou. Nemôžem byť spokojný s tým, že som mäsovým robotom alebo že trénujem iných, aby boli takíto (alebo navádzam učiteľov, aby deti tak videli matematicky). Procesná plynulosť bez pochopenia nie je lepšia ako použitie elektronickej čiernej skrinky na výpočet, hoci tradicionalisti túto prvú chválu pochvaľujú a druhú ju odsudzujú. Je tu hlboká konverzácia (alebo zbytočné, kričiace argumenty doplnené epitetami, ktoré by prinútili účastníkov zápasu Trump vs. Clinton partizán on-line bojovať), ale nie dnes. Namiesto toho sa chystám zatiahnuť záves a ukážem ti, ako sa za tým skrýva čarodejník.

Ak chcete začať, poďme pripomenúť z minulého mesiaca , že jediný spôsob, ako premýšľať o tom, výpočtová problém násobenie vo svete celé čísla (Z) je za “opakované navyše.” I keď existujú problémy s touto vetou ako  definície  násobenie, ktorú som odporúčame, učitelia sa vyhýbajú, nie je problém získať produkt, povedzme, 18 x 6 spočítaním šiestich dodatkov z osemnástich alebo naopak. Nie je však ideálne pre efektívnosť.

Analogicky, pretože delenie je inverzná operácia násobenia a odčítanie je inverzná operácia sčítania, mali by sme byť schopní vypočítať delenie v Z ako opakované odčítanie (pokiaľ sme spokojní so zvyškami. V racionálnych číslach (Q), máme „zlomky“ alebo desatinné miesta, keď rozdelenie celých čísel nedáva „pekný“ celočíselný kvocient). Tu je príklad, ako by to fungovalo v praxi:

Takže by sme sa určite mohli obísť bez dlhého delenia, ak sme ochotní urobiť opakované odpočítanie toľkokrát, koľko je potrebné, aby sme dostali kvocient dvoch celých čísel, však? A ak sa neponáhľame s výsledkami alebo sa obávame, že pridanie viac ako minimálnych potrebných výpočtov zvyšuje pravdepodobnosť chyby, sme v poriadku. Naozaj máme túto možnosť.

Ale pre tých, ktorí dávajú prednosť inému prístupu, je tu dlhé rozdelenie. Prečo to funguje? To je chýbajúci kúsok pre väčšinu z nás, vrátane, silne podozrivých, väčšiny učiteľov matematiky K-6. Bol by som ochotný sa staviť, že ak požiadate ľudí, aby vysvetlili, prečo funguje algoritmus s dlhým rozdelením – nielen to, čo sú kroky, ale prečo a ako dávajú zmysel – len málo z nich by mohlo dať koherentnú a správnu odpoveď.

Skúsme teda rozbaliť dlhé rozdelenie použitím štandardného algoritmu na niečo podobné predchádzajúcemu problému (tu môžeme riskovať väčšiu dividendu):

Verím, že vaša odpoveď súhlasí s mojím. Ale ako vieme, že máme pravdu? 78 x 22 = 1716. Pridajte zvyšných 14 a dostaneme 1730 pôvodnú dividendu. Matematické práce, život je dobrý.

Až na to, že nevieme,  prečo sme dosiahli tento výsledok, presne len to, že sme sledovali recept a takmer zázračne vyšiel perfektný koláč.

Jedna vec, ktorú stojí za povšimnutie, ktorá by sa mohla ľahko vynechať: ak pridáme 1540 + 176, získame 1716. To nemôže byť úplná náhoda, že? Aké sú tieto čísla?

Pozrime sa na kroky použité na získanie našej odpovede, ale trochu dôkladnejšie, ako ste pravdepodobne zvyknutí. Najprv ste pravdepodobne povedali: „Hmm, 22 nepôjde do 17, tak skúsme 22 do 173. Ah, to ide, um, osemkrát. Počkajte, nie, príliš veľký, tak skúste 7; Áno, v pohode, to je 154. “

Všetko v poriadku a dobre, ale väčšinou klamstvá. Po prvé, nie je to „17“, je to 1700. Otázka nie je naozaj „Čo je 22 až 17?“, Ale skôr „koľko skupín 1 000 x 22 je v roku 1730?“ Ó, to vás prekvapí? Prečo si myslíte, že je samozrejmé, že sa na to nemusíte pýtať? Faktom je, že iba skúsenosť, zmysel pre čísla alebo nezmyselné sledovanie toho, čo vám povedali učitelia, rodičia alebo rovesníci, vám umožňuje túto otázku preskočiť ako nepotrebnú. A podobne, pravdepodobne bez toho, aby ste to vedeli, ste vynechali, že prvá otázka o 22 až 17 sa teraz stáva „Koľko skupín po 100 x 22 je v roku 1730?“

Odpoveď je opäť 0, pretože 1 x 100 x 22 = 2200, čo je príliš veľká. Nakoniec by sme sa mali  opýtať: „Koľko skupín 10 x 22 je v roku 1730?“ A odpoveď je 7. Ale dobre si všimnite, že 7 predstavuje „70“, čo je 7 x 10, čo je skutočne to, čo skutočne vynásobte 22 tým, že získate prvý „čiastočný produkt“ z roku 1540 (pozri, že k číslu 154, ktorý ste vypočítali, som pripojil nulu, aby ste objasnili, čo sa skutočne odpočíta od roku 1730 pri prvom prechode). Uvedomte si tiež, že pomocou našej metódy, to je maximum, ktoré môžeme odôvodniť odpočítaním, ale mohli sme odpočítať menej ! (Pozri diskusiu o čiastkových kvocientoch nižšie).

Takže po odpočítaní 1540 nemáme 19, ale zostávajúcich 190. Zvyšok je celkom zrejmý (nebezpečné slovo, ktoré tu riskujem). Ďalší krok si nevyžaduje klamstvo: naozaj sa pýtame: „Koľko skupín 1 x 22 je v roku 190?“ Odpoveď znie skutočne 8. Viac by nás dalo okolo 190. Náš druhý čiastkový produkt, od 8 x 22 , je 176. Odpočítame to od roku 190 a zostane nám 14, príliš malé na to, aby bolo možné odstrániť všetky ďalšie skupiny 22. To je teda náš zvyšok (alternatívne môžeme povedať, že zostáva 14/22 skupiny, v ktorej má celá skupina 22).

To je takmer všetko, čo treba poznamenať, s výnimkou toho, že to, čo chýba v procese, ktorý ste sa učili v škole, považuje za zásadnú myšlienku: hodnotu miesta. Najprv berieme 70 skupín po 22 z roku 1730 naraz, namiesto toho, aby sme to robili 70-krát prostredníctvom jednotlivých odpočítaní po 22 kusoch. A to je skutočne veľmi dobrá vec. Ale pretože tento proces kompresie 70 odčítaní do jedného odhadu, jedna multiplikácia (alebo viac, ak odhadneme zle) a jedna odčítanie skrýva informácie od nás. „Lepšie“ algoritmy sú navrhnuté pre efektívnosť, nie pre transparentnosť. Odložíte, stratíte.

Až na to, že skoro všetci odkladáme, pretože je takmer neslýchané, aby učitelia našli čas na rozbalenie tohto procesu, nieto na to, aby sme ho učili ako opakované odčítanie, potom ako čiastkové kvocienty s použitím hodnoty miesta a nakoniec na efektívnejšie, ale nepriehľadné. štandardný algoritmus. Takže pre deti, ktoré nezachytávajú postup, precvičia ho na „zvládnutie“ a potom prejdú na ďalší odpojený postup, je dlhé rozdelenie často kameňom úrazu. Dokonca aj niektorí študenti, ktorí dokážu tento algoritmus správne vykonať, ho považujú za off-puting, domnievam sa, že vzhľadom na to, ako negatívne reagujú na zavedenie dlhého delenia polynómu, čo je postup, ktorý sa v praxi dá oveľa ľahšie vykonať.

Bol by som rád, keby som uzavrel túto esej bez toho, aby som sa pozrel na jeden ďalší prístup, čiastkové kvocienty: zmes opakovaného odčítania a štandardný algoritmus s dlhým delením. Vezmime si znova druhý príklad, 1730 ÷ 22.

Čo keby sme si neboli istí presným postupom pre štandardný algoritmus, ale cítili sme, že poznáme bod rozdelenia (čo je vlastne oveľa komplikovanejšie a závislejšie od kontextu, ako som sa rozhodol v tomto príspevku preskúmať): ako veľa skupín 22 je v roku 1730 so zvyškom od 0 do menej ako 22? (Vo všeobecnosti by sme mohli nazvať 22 deliteľom, 1730 dividendou, 78 kvocientom a 14 zvyškom a v symboloch b = a * q + r , kde b je dividenda, a je deliteľom,  je deliteľom  kvocient a  r je zvyšok, a, b, q a r v Z a 0 <q <a).

Možno to urobíme:

O čom to všetko je? Nuž, pomyslel som si: „Hmm, 10 x 22 = 220, teda 20 x 22 = 440.“ Potom som odpočítal 1 x 20 x 22 a dokázal som to zopakovať ešte dvakrát. Ale to ma nechalo s 410, príliš malé na ďalšie odpočítanie 20 x 22, ale dosť veľké na odpočítanie 1 x 10 x 22. To zostalo 190, príliš malé na odpočítanie ďalších 10 x 20 (podľa predpokladov podľa predchádzajúcej analýzy), ale dostatočne veľká na to, aby odniesla 1 x 5 x 22 alebo 110. Zostalo to 80 a videl som, že 3 x 22 = 66 bolo dosť malé, zatiaľ čo 4 x 22 = 88 by bolo príliš veľa na odpočítanie. A keď zostalo 14, musel som prestať odpočítať. Pridaním čiastkových kvocientov sa získa úplný kvocient 78 (skupiny 22) plus zvyšok 14.

Predtým, ako ma sily spravodlivosti zaútočia na „hlúpu“ americkú mládež, nemám lobovanie za „čiastočné kvocienty“, ktoré by nahradili štandardný algoritmus. Netvrdím ani proti tomu, aby sa študenti naučili štandardný algoritmus, pretože kalkulačky, počítače a smartfóny napokon robia aritmetické a oveľa viac, rýchlejšie a presnejšie. Namiesto toho sa zasadzujem za ukončenie čiernych skriniek, keď sa dá ľahko porozumieť. Ako sa tam dostaneme, však odídem do ďalšieho stĺpca.

admin

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *