Modely a ponorenie sa hlbšie do divízie

Modely a ponorenie sa hlbšie do divízie

Minulý mesiac sme rozbalili postup delenia na dlhé hodiny, ktorý sa vyučuje v amerických triedach K-6, zviazali sme ho so štandardným algoritmom „long multiplication“, diskutovali sme o problémoch so stratou informácií obchodovaných za účelom zvýšenia rýchlosti a efektívnosti a tiež sme preskúmali niektoré alternatívy. metódy na uskutočnenie dlhého delenia.

Za samozrejmé sa považovalo to, že sme vedeli, čo delenie „je“ (tu uvádzam desivé uvozovky: je nebezpečné pokúsiť sa príliš obmedzovať základný význam „jednoduchých, elementárnych“ matematických operácií, a tu to robím bez chcel by som naznačiť, že to, čo ponúkam, je alebo by mohlo byť definitívne). Mám pocit, že učitelia K-6 majú do značnej miery veľmi obmedzenú predstavu o tom, čo znamená rozdelenie, najmä ak sa rozširujú na celé čísla. Táto časť navrhuje pomôcť objasniť toto porozumenie, najmä pre tých, ktorí zápasili s potrebnými nápadmi alebo nevenovali pozornosť tejto záležitosti.

Po prvé, je rozumné uviesť, že delenie je inverzná operácia pre multiplikáciu (v tejto súvislosti odporúčam vyhnúť sa alebo minimalizovať použitie „opačného“), v tom istom zmysle, že odčítanie je inverzná operácia pre sčítanie. V skutočnosti nie je vôbec neobvyklé definovať odčítanie ako „pridanie inverznej (alebo negatívnej)“; podobne môžeme definovať delenie ako „vynásobenie inverziou (alebo recipročným).“ Vyžaduje sa však určitá opatrnosť. Ak sa deti nedozvedeli o celých číslach, učitelia budú musieť odpočítanie obmedziť na prípady a – b, kde b ≤ a.To vyvoláva problémy, či tvrdiť, že „nemôžete odobrať väčšie množstvo z menšieho počtu,“ čo je nesprávne, keď sa študenti dozvedeli o záporných číslach. Odporúčam uviesť niečo podľa riadku „Vzhľadom na počet, o ktorých viete dosiaľ, otázky ako„ Čo je to             3 – 5 ? “Nemajú odpoveď; Dozviete sa však o číslach, ktoré nám umožnia odpovedať na takéto otázky o niekoľko rokov. ““

Podobne, skôr ako majú prístup k racionálnym číslam, sú otázky ako 16 ÷ 5 =? musíte odpovedať pomocou zvyškov a niečo podľa riadku 3 ÷ 7 =? možno vôbec nedáva zmysel! Rovne povedané, „Nemôžete deliť menšie číslo väčším počtom“, je nielen zavádzajúce, ale tiež necháva študentov a učiteľov vo vážnej quandarii, keď čelia deleniu -6 na -3 . Neuvedomuje si nikto učenie K-6, že zatiaľ čo odpoveď je POZITÍVNA 2 , problém by nemal byť možný v rámci celých čísel, ak je tento zákaz rozdelenia pravdivý?

Reálne modely pre divíziu

Nie je to moje tvrdenie, že sa študenti učia aritmetike lepšie, ak to dokážu zakúsiť vo svojich skutočných skúsenostiach, alebo že si budú radšej matematiku užívať, ak ju dokážu spojiť so svojimi každodennými konkrétnymi skúsenosťami. To by mohlo platiť pre niektoré deti a pre ostatné irelevantné. Nech už je to tak, verím, že učitelia ťažia z toho, že majú k dispozícii rôzne modely, pretože učia matematiku širokého spektra študentov. A dobré modely sa nezbavia porozumenia, pokiaľ učitelia pochopia a oznámia svojim obvineniam, že modely sú spôsoby, ako pomôcť porozumieť matematike; nie sú to samotné matematiky.

Dva hlavné modely rozdelenia matematiky na základných školách sú model rozdelenia (tzv. Fair-share) a model citlivosti (meranie).

Väčšina malých detí má rozumne dobré intuitívne / zážitkové chápanie toho, aké čestné podiely má v čase, keď sa v škole zavádza delenie času, aj keď nie sú také pohodlné pre formálne aritmetické operácie (výskum v Brazílii a Brazílii je značný) inde naznačuje, že mnoho detí, ktoré pracujú s peniazmi v stánkoch na trhu av iných mimoškolských zariadeniach, vyvíjajú zariadenia s komplikovanými výpočtami, ktoré sa v ich školskom výkone neodrážajú aritmeticky).

Vzhľadom na pevný počet položiek, x (povedzme, gumové medvede) a pevný počet priateľov k (vrátane seba) majú študenti účinné spôsoby, ako určiť, koľko každej osoby dostane, q (veľkosť zdieľania) a koľko zostáva. over, r (zvyšok), ak existuje. To, čo sa so zvyškom spraví, sa samozrejme líši. Miestne zvyky nie sú štandardizované.

Väčšina detí vie, že to, že všetky ostatné gumové medvede sú rovnako žiaduce, spravodlivé zdieľanie vyžaduje, aby každé dieťa dostalo rovnaký počet medveďov. (Avšak buďte opatrní, ak sa snažíte zistiť, či dané deti skutočne dostanú myšlienku „spravodlivého zdieľania“, aby ju presne spojili so zlomkami ( tj racionálnymi číslami). Nie je neobvyklé, že mladšie deti zdieľajú cukrovinkovú tyčinku s jedna ďalšia osoba, ktorá žiada „väčšiu polovicu“. To dáva zmysel, pokiaľ používame obyčajnú angličtinu namiesto matematickej terminológie.) Typickou stratégiou na zisťovanie kvocientu je distribúcia jedného medveďa súčasne každej osobe. , tento proces sa opakuje, kým už nie sú k dispozícii ďalšie gummies alebo nestačí, aby si každý dal ďalšieho medveďa.

Všimnite si, že v modeli čiastočného delenia existuje fixný súčet / celok, x, pevný počet akcií, k a neznáma veľkosť podielu q, ktorá sa má určiť. Kvôli jednoduchosti nebudeme diskutovať o tom, ako sa zvyšok r odstráni. “

U modelu kvocientov je tu opäť pevne stanovený súčet / celok, x, ale veľkosť podielu je určená a nie je známe, koľko akcií / skupín tejto veľkosti je možné vyrobiť pred vyčerpaním ponuky alebo ak nezostáva dostatok času na vytvorenie iná skupina.

Typickou situáciou pre delenie na prísady je varenie, kde by mohlo byť 12 šálok múky a recept na sušienky, ktorý vyžaduje 1 1/3 šálky múky na jednu dávku. Teraz by bolo potrebné položiť otázku: „Koľko kompletných šarží súborov cookie je možné vyrobiť s 12 šálkami múky?“ (Predpokladá sa, že v tomto príklade neexistujú žiadne ďalšie obmedzenia: je k dispozícii dostatočné množstvo všetkých ostatných zložiek).

Vo všeobecnosti je to pre mnohých študentov (a učiteľov) ťažšia situácia. Výskum ukázal napríklad, že veľa učiteľov základných škôl a študentov učiteľov má skutočný problém s písaním slov, ktoré zahŕňajú rozdelenie správnymi zlomkami. Po výzve na napísanie „problému v reálnom svete“, ktorý by sa vyriešil delením ½, značný počet opýtaných namiesto toho poskytne ten, ktorý predstavuje delenie 2, aj keď sú dividenda a deliteľ výslovne poskytnuté písomne.

Divízia modelovania s celými číslami

Zvážte, ako sa parciálne a citlivé modely uplatňujú na delenie podpísaného čísla, pričom treba mať na pamäti, že násobenie reálnych čísel a ich podmnožín je komutatívne, ale delenie nie je.

Pre celé čísla p, q, r, s r ≠ 0, zvážte, čo sa stane pre rôzne kombinácie p & q ako pozitívne alebo negatívne. Ak sú p & q pozitívne, dokážeme si ľahko predstaviť situáciu čiastočného aj citlivého rozdelenia a také príklady sme už uviedli.

Ak sú p & q záporné, povedzme -12 a -3 , môžeme sa zmysluplne opýtať: „Na koľko skupín veľkosti -3 môžeme rozdeliť celkom -12 ?“ Odpoveď, kladné štyri, má aritmetický význam, ale môže sa tiež považovať za rozdelenie dlhu s negatívnym počtom 12 dolárov do rovnakých skupín s negatívnym objemom 3 $ a potom sa pýta, koľko partnerov by bolo potrebných na rovnomerné vstrebanie dlhu. Toto je príklad rozdelenia citátov.

Ak je p záporné a q kladné, môžeme tiež vytvoriť zmysluplný model. Povedzme, že p je opäť – 12 a že q je 3: potom by sme sa mohli opýtať: „Koľko dlhu musí každý z 3 partnerov vziať na pokrytie dlhu 12 dolárov?“ Tu je odpoveď -4, ktorá dáva zmysel, pretože o zdieľaní fixného dlhu do pevného počtu skupín a každá akcia obsahuje rovnaký záporný počet dolárov. Model je čiastočný.

Čo sa stane, keď je p kladné a q záporné? Môžeme vytvoriť rozumný partitívny alebo citlivý model? Trocha myšlienky naznačuje, že to nemôžeme. Nemôžeme mať partikulárny model s negatívnym deliteľom, pretože záporný počet skupín v skutočnom svete jednoducho nedáva zmysel. Na druhej strane model merania nefunguje. Pokus o rozdelenie kladného súčtu na podiely negatívnej veľkosti nebude lietať.

Takéto výpočty však nepredstavujú skutočné ťažkosti: 12 ÷ -3 = -4 a je to v súlade s našimi predstavami o vzťahu medzi rozdelením a multiplikáciou, pretože -4 • -3 = 12 Ďalej sa pravidlá učia študentov o podpísanom čísle. znásobenie a delenie: do aritmetiky sa týmto nezavádza žiadny rozpor. Všetci by sme mali byť šťastní.

Ale čo naše pekné modely? Odpoveď je, že sa tu rozpadajú. A možno je to dobrá vec. Matematika nezávisí od korešpondencie so „skutočným svetom“. Závisí to od logickej konzistencie predmetov, pravidiel práce s nimi a zákonov odôvodnenia. Ak nedôjde k rozporom, sme šťastní. Nájdenie jedného alebo viacerých modelov alebo metafor na uľahčenie porozumenia môže byť žiaduce, ale nie je to potrebné.

Študenti stredných a vyšších škôl, ktorí sa učia myslieť na vytváranie zmyslov pomocou delenia s počtom podpísaných čísiel, by preto mali mať možnosť hrať sa a zaoberať sa týmito otázkami. V mnohých prípadoch by mali byť schopní vyrovnať sa s abstraktnejšou myšlienkou delenia ako multiplikáciou recipročným. Nakoniec by sme chceli, aby všetci študenti boli schopní abstraktnejšie uvažovať o matematických objektoch a pravidlách pre prácu s nimi. Vzájomné pôsobenie medzi modelmi a matematikou pokračuje, aj keď sa abstrakcia zvyšuje, ale modely sú druhom lešenia veľa času, ktorý by sme mali byť pripravení opustiť, keď je to potrebné alebo vhodné, a neschopnosť nájsť model pre konkrétny kúsok matematika by nemala byť neprekonateľnou prekážkou jej riešenia

admin

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *